地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相同?
不能
1、9、15、31的平均数是14
因为每操作一次改变一次奇偶性
即:第奇次操作后每堆数量是偶数
第偶次操作后每堆数量是奇数
所以,需要奇数次操作
又因为,它们除以3的余数分别是1,0,0,1,结果都是2
而每一次操作后有奇数堆(3堆)改变余数结果
所以,要有偶数堆改变余数结果需要偶数次操作
在本题中,4堆都要改变,所以需偶数次操作
矛盾,所以结果是不可能的
下面是几何
ⅰ四边形abcd中，对角线ac、bd交于点o，e、f分别是ab、cd的中点，连结ef交bd、ac于m、n，若ac=bd，求证：om=on
ⅱ四边形abcd中，e、f、p、q分别是ad、bc、bd、ac的中点，m、n分别是pb、qc的中点，求证ef平分mn。
ⅲ四边形abcd中，ab=cd，e、f分别是ad、bc的中点，ba延长线交fe延长线于点g，cd延长线交fe延长线于点h。求证：,∠bgf=∠chf。
ⅳ在△abc中，d、e分别是ab、ac的中点，延长bc到m，n是bm的中点，h是en的中点，连结dh交bm于f。求证：cf=fm
ⅴ△abc中，∠b=2∠c，ad⊥bc，e是bc中点，求证：ab=2de
ⅵ梯形abcd中，ab平行dc，∠d ∠c=90°，e、f分别是ab、dc的中点，求证：ef=1/2(dc-ab)
ⅶ已知ah是△abc中∠bac的角平分线，在ab、ac上分别截取bd=ce，m是de的中点，n是bc的中点，求证：mn平行ah
ⅸ已知，△abc中，ab=ac，bd⊥ac于d，ce⊥ab于e，cm⊥bc交bd延长线于m，mf⊥ab于f。求证：be=ef
以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理(若ad平分角bac，交bc于d，则ab/ac=bd/bc。证明也是用中位线的。)
i 过d作ac的平行线，过c作ad的平行线，二者相交于g，延长ef交dg于h。则acgd是平行四边形，从而对角线ag与cd互相平分，于是a、f、g三点共线且ef是三角形abg的中位线。这样，ef平行于bg，角dmh=角dbg，角dhm=角dgb。但是dg=ac=bd，所以三角形dbg是等腰三角形，于是角dbg=角dgb，得到角dmh=角dhm。又因为dg平行于ac，角dhm=角onm，而角dmh与角omn是对顶角，从而角onm=角 omn，得到om=on。
ii 由中位线性质可知，epfq是平行四边形，从而ef平分pq。设ef交pq于o，则on是三角形qpc的中位线，于是on平行于cp且 on=1/2(cp)。另外，fm是三角形bpc的中位线，于是fm平行于cp且fm=1/2(cp)。这样，fmon是平行四边形，对角线互相平分，于是fo平分mn，也即ef平分mn。
iii 将三角形deh旋转180度，使得d与a重合。设c、h、f分别变成i，j，k。则角ike=角cfe，从而ik平行于bf。但是bf=fc=ik，于是 bf与ik平行且相等，即：bfki是平行四边形，于是bi平行于jg。于是角aib=角ajg，角abi=角agj。此时由于ai=cd=ab，角 aib=角abi，于是角ajg=角agj。但是角ajg=角dhe，于是角dhe=角agj，也即角bgf=角chf。
方法二：连结bd,找bd中点o,,连结eo、of。通过中位线可以得出oe平行且等于1/2ab，of平行且等于1/2cd，所以eo=of，通过平行加上oe=of，可一很简单的得出角角bgf=角chf
iv 由eh=hn知nf=de=1/2(bc)，于是cf=nf-nc=1/2(bc)-(bc-bn)=bn-1/2(bc)=1/2(bm)-1/2(bc)=1/2(bm-bc)=1/2(cm)。从而cf=fm=1/2(cm)。